2023版新课标的出现，给小学数学教学改进指明了研究的方向。曹培英教师就小学数学教学改进谈了自己的研究，他认为教学改进的基础工作就是两个吃透，应该在教学改进中立足儿童，彰显数学，创新实践。曹教授在介绍教学改进的过程中，既有理论上的引领，又有课堂的实例支撑，在学习之后笔者有了一些感悟。
吃透教材，活用教材
小学数学教材是经过反复实践与修订的，其中单元和课时内容的安排都自有深意。作为小学数学教师，我们要先读懂数学，读懂教材编写和分布的用意。数学学习是螺旋式的，每一册学习的内容都是学生后续学习的基础，教材中单元的安排也具有一定的合理性，例如曹教授提到的表内除法（一）和表内除法（二）之间就隔了一个图形的运动（一）单元，教材这样的安排是为了避免学生的厌倦效应，同时可以插入巩固时间，让学生学习表内除法更扎实有效。那么作为教师，在教学中要做的就是用教材，而不是教教材，教师可以根据学生的情况和数学的知识结构巧妙灵活的运用教材。
吃透学生，讲明道理
数学是讲道理的，当我们面对小学生时，需要选择适合小学生的方式去讲清数学的道理。例如曹教授在介绍被减数中间有0的连续退位减法一课中，学生理解算理才是关键，以“计算100-78，是把100分成（）个十和（）个一”为课后测试，发现答对的学生认识不到一半，也就是学生对借位的理解还不到位。在教学中启发学生理解算理把1个百分成9个十和10个一，更有助于学生理解和掌握，在后续学习中也能把知识运用到小数减法中，如计算1-0。78，通常是把1分成（）个0。1和（）个0。01，学生的正确率就很高。
教学改进的主要策略
曹教授在讲座中谈到6点关于教学改进的主要测量，包括：立足儿童，彰显数学；基于单元，着眼整体；专题研究，上挂下联；发璞归真，用活教材；转变教学形态，提高课堂效能；关注评价，循证改进。在教学中坚持小学数学的“本色”，在具体课例中考虑知识安排的合理性，知识的学习内容安排是否符合学生学情。从课时设计走向单元整体设计，从一课内容走向一个知识体系。在指向核心素养的专题研究中，思考如何落实到相关单元每节课的教学中。活用教材，在书中学，在做中学，在学生自主探究的活动中学习掌握新知识。改变课堂教学形态，注重学生在课堂上当堂巩固的时间，真正实现减负。逆向设计，在教学中注重目标、评价和设计，及时有效地进行反馈。来源 WENANdAqUAn.com
图形与几何是义务教育阶段学生数学学习的重要领域，在小学阶段包括“图形的认识与测量”和“图形的位置与运动”两个主题。学段之间的内容相互关联提升，有着清晰的知识架构与方法积累。
在图形的认识和测量方面，学生经历从具体形象的实物中抽象出几何图形的过程，从而认识图形的特征，感悟点动成线、线动成面、面动成体的关系。图形的测量教学中，学生从自主确定单位展开度量过渡到基于度量单位理解图形长度、角度、周长、面积、体积，经历从“单位多样”到“单位统一”的过程——从自主量到统一量。在这个过程中，学生逐步理解量的大小是可以度量的，理解度量需要一个标准去比—单位，这个单位可以多样。理解用统一的单位去度量是必要的。因此，教师在教学中不能仅仅停留在知识技能在传递上，而是关注学生通过学习知识技能形成了什么样的一个人，形成什么样的素养，关注学生的核心素养发展。不再是让学生作为旁观者，而是发生情感意义的联系。以下是我对于图形与几何领域第二学段的学习体会。
图形与测量中的内容要求之一是：“认识长度单位千米，知道分米、毫米；认识面积单位厘米^2、分米^2、米^2；能进行简单的单位换算；能恰当地选择单位估测一些物体的长度和面积，会进行测量。”
一、深度体验，建立表象
我想，在进行长度单位教学时，我们可以依托生活中的丰富材料，通过看一看、摸一摸、比一比、画一画、找一找、估一估和量一量等系列活动，让学生拥有深度体验，在头脑中建立清晰的表象，比如通过在学具中寻找厚度大约1毫米物品的活动，用手比划1毫米，借助实际物品的比较，进一步建立1毫米的表象。令我印象深刻的是李江辉老师在《杭州市2023年小学数学“量感培养”专题教学研讨活动》中所执教的《1千米有多长》，他引导学生选择素材介绍1千米，如熟悉的操场、1个小朋友手臂张开的长度、大巴车的长度、楼房的高度、来福士的高度、前测中步行100米的步数时间、跑100米的时间等。借助学生的生活经验和实践体验，通过推理、想象，从不同维度和路径将“千米”具体化、形象化，帮助学生初步形成1千米的表象，发展量感。
在认识面积单位时，要注重实践操作，允许学生自由寻找活动材料，调动学生的多种感官，积累丰富的面积测量经验，交流个性化学习成果。通过确立标准，到优化标准，再到统一标准，最后“度量”，让学生体验与理解度量的本质结构和数学方法，甚至能跳出数学学科，建立生活中的度量价值观，渗透学科育人。王力明在《面积单位》一课中，先引导学生用本子去度量两幅画的大小，学生发现本子的表面就可以作为衡量这两幅画面积大小的工具。紧接着引导学生发现物体的表面和平面图形的大小如圆、正方形、长方形、三角形都可以作为衡量面积的标准。度量单位可以有多种，仅仅是描述大小并且可以理解的时候，不一定需要用规定的度量单位。但为了便于交流和比较，需要有统一的度量单位。如果度量单位不统一，我们就难以进行交流和比较，在认知冲突中启发学生建立面积单位标准的必要性。这是多种单位去度量到同一单位去度量的过程。在这个过程中，学生会感悟到原来度量单位可以多种多样，但是为了便于交流和比较，我们还是需要用统一的度量单位。
二、明晰产生，正确度量
恰当地选择单位估测一些物体的长度和面积，就需要明晰知识的产生过程。只有学生对度量的对象有比较清晰的感知时，才能做出判断、才能利用头脑中的单位表象、度量经验和空间想象，合理判断或估计度量结果。这不是技能而是一种能力，是思维层面上的。能进行简单的单位换算是指能基于度量单位的变化转化度量结果。比如纸板箱用1立方分米去度量，是几立方分米？如果换成立方米去度量，是多少立方米？可能1立方米不到。如果用立方厘米去度量，可能是几千、几万立方厘米。
三、建立结构，生发新知
郭华老师《新课标：让核心素养落地》这一讲座中提到：课程结构化的意义是让学生成为主体，让学生的活动进来，不断反复理解和运用。不仅仅有分析、归纳、综合、思维的部分，还有悟的部分，发生意义关联。一切旧的东西都能生发成新的东西，一切新的东西都蕴含着旧的东西。发现学习可以缩短高级知识和低级知识的距离。让学生发现新知识，越来越有自信。数学知识随着学段的增加，呈现着螺旋式上升的结构，各学段之间的知识和方法都是关联的，我们要让学生搭建清晰的知识结构，在不断容纳新知的过程中丰富充盈知识结构。让旧知得到巩固与拓展，让新知在旧知的滋养下不断生长、开出灿烂的花朵。
最近我外出培训时，我发现每节课的尾声，老师都会问学生“这节课你学会了什么”，这是基于数学的知识技能展开回顾，而当我听到一个老师问“今天这节课你是怎么学会的？”时，我感受到了老师对于知识形成过程的关注。这是基于数学学习的方法经验和数学的思想方法来培养学生的各项能力。在今后的课堂中，我也会多多提问“你是怎么学会的？”让学生完整经历探究的过程，明晰知识的产生由来，这是高于知识层面的数学本质理解，也是高于技能层面的数学思维活动。注重体验与经验积累，让学生在增长知识与技能的同时发展思维与能力素养。
教学研究既是一个永恒的话题，也是一个常讲常新的教研话题，面对日新月异不断迭代发展的社会，教学需要改进，我们教学也需要不断学习、不断改进。在改进的中，我们更需要思考改进什么、如何改进。
曹培英老师结合近年的“大概念”、“大单元”教学组织形式，指出：在教学中，我们不能盲目追随热点，而应当立足于教学实际，关注儿童的学习认知特点，关注数学教学的本色，提高学习效能。基于以上的分析，曹教授结合具体的教学案例，提出了六点教学改进的主要策略，让笔者感受最深的是以下几点。
基于单元，着眼整体
2023版新课标指出，教学中要改变过于注重以课时为单位的教学设计，推进单元整体教学设计，体现数学知识之间的内在逻辑联系，以及学习内容与核心素养表现的关联。
例如，在五年级学习《长方体与正方体》时，可以采用“单元整体设计”的思路，将体积与体积单位放在一起进行教学。对于体积和体积单位，学生其实是有一定的经验的。第一，是感知物体占了多少空间的生活认知经验；第二，是在学习了长度单位、面积单位后，知识迁移上的经验。那么，在教学时，教师就可以有意识地引导学生联系先前的学习经验进行对比、类推、迁移，利用三个层层递进的问题帮助学生建立结构化的知识经验：长度单位用什么表示？面积单位用什么表示？体积单位呢？通过这样的提问与对比思考，学生不仅能够自主得出答案，而且能更清楚地区分出长度、面积、体积间的区别与联系。
当然，单元整体教学设计要整体分析数学内容本质和学生认知规律，合理整合教学内容，分析主题一单元课时的数学知识和核心素养主要表现，确定单元教学目标，并落实到教学活动各个环节，整体设计，分步实施，促进学生对数学教学内容的整体理解与把握，逐步培养学生的核心素养。
返璞归真，用活教材
教材凝结了优秀专家、学者的智慧，教材是教学之本，而我们的课程应当根据学生的实际情况，对课程实施校本化。因而不管是怎么样的教学形式，我们都应当尊重教材、用好教材、用活教材。曹培英教授提倡，学数学应当关注从书中学，也应当是做中学，教师应当激发学生学习的自主性。
以“测量不规则物体的体积”为例，我们应当关注到，在情境上，教材将测苹果的体积改成了测土豆、梨的体积，是因为当把苹果放进水中，苹果是悬浮的，不能完全使用排水法进行测量体积；而土豆、梨放入水中，则是沉在水底，可以采用排水法计算体积，说明我们的数学教学中也应当考虑到生活实际。而对于不规则物体的体积的测量，曹教授给出了新思路——称出体积：我们可以先测出1立方厘米的橡皮泥、梨的质量，再称出它们的质量，最后计算出体积。
当我们把教材用出经验、用出创意时，也就是达到了返璞归真的境界，发挥出每一堂课的育人价值，促进学生核心素养发展。
转变形态，提升效能
在如今的“双减”背景下，应该注重课程教学内容的结构化，改变单一讲授式教学方式，注重启发式、探究式、参与式、互动式，给予学生更多表达的机会、安静思考的时间，用课程内容的结构化来引领、推动教学改革。
例如，学生在学习人教版五年级下册《长方体和正方体》这一单元时，由于空间观念意识较为薄弱，学生在学习中其实会遇到不少困难。以“长方体和正方体”的应用为例，练习题中经常会出现：“切”的问题——把一个长方体平行于底面切开，表面积增加20平方厘米，求长方体的体积；“拼”的问题——把两个一样大小的长方体拼在一起，面积减少60平方厘米，求原来正方体的体积；“增”的问题——把长方体的高增加3厘米，体积增加多少；“铸”的问题——把一个正方体铁块铸成一个长方体，求长方体的底面积……这类关于长方体实际应用的题目。有不少学生面对这些情境变化多样的题目，往往一头雾水，不知从何下笔。面对这样的学习现状，我们不妨尝试转变课堂上教师讲授为主的教学形态，给学生动脑想、动手做的时间与机会，让学生在实践中感受长方体的长、宽、高的变化，让学习回归本色，进而发展空间观念。
在课堂教学中，我们应当在有限的时间里讲清楚最关键、最核心的概念、原理、基本方法，将知识结构转变为学生头脑中的认知结构，让学生能够闻一知十，学会举一反三。
史宁中教授认为，数学核心素养的概念应该是能够适应学生社会发展及终身发展需要的、学生必须具备的、起重要作用的数学素养。其既包括数学自信、严谨的科学态度，也包括理性精神、责任担当等在数学中的具体表现，包括数学关键能力，也包括数学思维方式。郭华教授这样诠释核心素养：核心素养不是单一该学科的素养，本质作用在学生身上，做到“目中有人”，学生在获得该学科知识与技能后转化为自身的素养，这才是学科素养。
追本溯源，核心素养的对象是学生，我们判断素养是否达标的依据依然是学生本身对该学科的素养水平。在2023年新版的课标中更是研制了学业质量标准，学业质量标准是以核心素养为主要维度，结合课程内容，对学生学业成就具体表现特征的整体刻画。其目的就是引导和帮助教师把握教学深度与广度，为教材编写、教学实施和考试评价等提供依据。
核心素养具有整体性、一致性和阶段性，在不同阶段具有不同表现。新版课标中将原来的十大数学核心素养变为十一，“量感”进入视野，也就是主要指对事物的可测量属性及大小关系的直观感知。随之而来，在义务教育阶段，图形与几何在各个学段的要求也发生着变化。
一、初尝图形与几何中的核心素养
课标在第一学段中新增通过实物和模型辨认简单的立体图形和平面图形，能对图形进行分类，会用简单的图形拼图。在图形认识与测量的过程中，形成初步的空间观念和量感。学业质量基于此提出学生能结合生活中的事物，认识并描述常见的立体图形和平面图形特征，会对常见物体的长度进行测量，形成初步的空间观念和量感，能对物体、图形按照一定的标准分类。因此，在教学中引导学生从生活中常见的图形入手，大胆说出生活中常见物体的原型就是我们数学中的立体图形，将立体图形与平面图形进行联系，说出立体图形中某一个面对应的平面图形，形成初步的空间观念。
让学生通过一些操作活动，感受立体图形与对应的平面图形的关系，感受图形的特征，形成空间观念。还可以让学生采用类似盖印的方法，把物体的一个面印在纸上，得到平面图形，一方面能够培养空间想象力，另一方面能够感受中国传统的印章文化。
二、再识图形与几何中的核心素养
课标在第二学段中新增会用直尺和圆规做一条直线等于已知线段，这项“尺规作图”的加入明晰了尺规作图的教学价值：借尺规作图锻炼学生动手操作能力，借尺规作图发展学生几何直观水平，借尺规作图促进学生逻辑思维的形成，借尺规作图积淀学生数学核心素养；相比较2023年版课程标准在小学阶段只是要求掌握画图的技能和方法，但是新版课标中的“作图”使一线教师格外重视。因此，作为教师，引导学生尺规作图前要先观察、分析、思考、预测、判断，再动手作图，不仅要让学生在作图之后知晓为什么这样作的道理，更要让学生在作图之前知道这样操作的原因。如例2
例2用直尺和圆规作等长线段
用无刻度的直尺或不看直尺的刻度和圆规，作一条与给定线段长度相等的线段。
让学生通过几何作图的方法，在操作过程中形成对几何图形的感觉，感受两点确定一条线段的意义；体会用直尺可以确定直线，用圆规的两脚可以确定线段的长短。具体方法：利用直尺画一条直线，用圆规确定给定线段的长度，在直线上确定两个端点，从而作出与给定线段等长的线段。教学中，可以让学生发挥想象力，用直尺和圆规构建各种可以实现的图形。
三、深化图形与几何中的核心素养
课标在第三学段中新增体验不规则物体体积的测量方法，但是对于会通过度量的方法对体积、面积进行叠加从而得出计算公式仍然是重中之重。学业质量依据核心素养的要求为能计算图形的周长（或表面积）、体积，能描述图形的位置和运动，形成量感、空间观念和几何直观。在教学中，引导学生通过对立体图形的测量，理解长度、面积、体积都是相应度量单位的累加。引导学生运用转化的思想，推导平行四边形、三角形、梯形、圆等平面图形的面积公式，形成空间观念和推理意识。
在教学活动中，可以培养学生有规划做事的习惯和判断结论的能力。引导可以数出图形包含的完整小正方形的数量，或者数出图形包含的以及边缘接触到的所有小正方形的数量，用数量估计图形的面积。通过数一数，来感知面积就是度量的叠加。引导学生发现，第一种方法估计的面积比实际面积小，第二种方法估计的面积比实际面积大，由此作出结论，实际面积在这两个估计值之间。对于学有余力的学生，还可以引导他们理解：如果将小正方形等分成更小的正方形，可以得到更接近实际面积的估计值。
在小学阶段，数学核心素养具有一般性、阶段性的特征。低学段更具体、更侧重意识。高学段更一般、更侧重能力。因此，教学在进行教学时，以核心数学为载体，学业质量为标杆，从生活中感知数学，在操作中感悟本质。
教学改进是教学研究的永恒话题，问题在于改进什么、如何改进。曹培英教授在本次讲座中从“误区与对策”、“不可或缺的基础工作”“教学改进的主要策略”三方面，为大家带来了前沿引领。
螺旋上升静待花开
曹教授在讲座中指出：近年来冠以“大”的名词层出不穷。我们在指向核心素养的教学中，常会在这些“大”的引领下进行教学设计，但这都指向“教”的设计，而并非“学”。曹教授借助各地数学教材的沿革，为大家呈现了“螺旋上升”的合理性，提出教学改进要具体问题具体突破，“大小相宜”才为上佳。
在此基础上，曹教授为大家解读了数学教材编排背后的“关联”与“配合”。例如：百以内数的认识可以应用于元、角、分的认识，厘米、米的认识，通过应用来巩固旧知，这样能够在避免厌倦效应的同时，为学生留出巩固的时间。
这不禁让我想到本学期深深困扰我的一个问题。笔者目前执教五年级数学，五年级下册的数学知识点非常系统，有分数的基本性质和计算、统计知识的应用，也首次出现了立体图形表面积与体积的计算，学期短、任务重。很多学习能力不强的孩子，在五下每一个单元的学习中，都遇到了很大的困难，不断地受挫。甚至一些学习能力还不错的孩子，他们在新授课中暴露出的问题，不能在练习课中及时解决，要持续巩固到单元复习，才能慢慢形成自己的理解。这样的现状不仅让孩子们非常受挫，也让我自己有些焦虑。
听了曹教授的讲座，我恍然大悟。原来就连教材的“混编”、“拼盘”式编排，也是为了“等一等”我们的孩子，那么我们为何不能在教学过程中“静待花开”呢！
用活教材，以生为本
当然，“静待花开”并不意味着“躺平”。教师只有不断地进行教学改进，才能放下心中的焦虑等待孩子们的成长。曹教授的讲座为老师们提供了许多操作性很强的教学改进策略。
曹教授借助“学习”二字，在字形中解读出要手握书本学习、要像小鸟飞出鸟巢练习飞行一样学习，提炼出科学的学习形式：书中学、做中学、问中学。
其中“书中学”要求教师要将教材作为教学之本，教材中的情境对学生来说始终是新颖的，教师因为自己觉得情境老而一味摒弃教材，仍旧是一种“以教为本”。要让课程实施走向个性化，不是一味地摒弃教材，而是要将教材用出经验、用出创意。
例如在《不规则物体的体积》一课中，学生在经历教材的实验情境时，完全有可能先估再测，唤醒估算经验，或者取单位体积的土豆测量其质量，再根据完整土豆质量与单位体积土豆质量之间的倍数关系，计算出完整土豆的体积。这样出色的创意测量，不仅应用了《因数与倍数》单元的知识，也渗透了同一物体质量与体积间的比例关系，还能够融合科学学科中的比重知识。看来这样的“老情境”也能呈现精彩纷呈的课堂！
教学改进是教学研究的永恒话题，是常讲常新的教研话题。曹培英教授就“教学改进”这一话题，结合当今数学研究热点“大单元”，认为教学改进不能追求热点、人云亦云，更应当立足于教学实际，具体问题具体突破，从典型单元入手，逐一改进、各个突破，最后以点带面、全面覆盖。
有效的教学活动是学生学和教师教的统一，除了对教材与学科知识的充分解读，教学改进更离不开对学生已有知识与经验的分析与教师的教学经验。基于这样的认识，曹教授结合具体教学案例，提出了六点教学改进的策略，让笔者印象最深的是以下几点。
立足儿童，彰显数学
2023年新课标指出，数学课程内容的选择要保持相对稳定的学科体系，体现数学的学科特征，同时要符合学生的认知规律，有助于学生理解、掌握数学的基础知识和基本技能，形成数学基本思想，积累数学基本活动经验，发展核心素养。
教学平均数时，原先由拍皮球比赛引入，贴近儿童但缺少统计意义，现在改为有测验平均分引入，儿童有感觉能理解，但无法把全班学生的平均数计算出来，不利于导出计算方法，难以感悟移多补少。又有老师尝试调查儿童身高并给出正态分布图，但在实践中很难得到标准的正态分布图，操作不具备普适性。
如何找到儿童与数学的平衡点呢？研究表明，要走出两个误区：用平均数使比赛公平、人数不等请平均数帮助。人教版教材中设计四个同学收集塑料瓶，求四人的平均数的情境，出示形象的象形统计图也有助于学生感悟移多补少。苏教版教材设计比较分析男女生套圈水平，引导学生用一个数（平均数）代表一组数来比较，除此之外，还能从可视化的两组图中发现平均数能代表一组数据的整体水平，平均数在最大、小值之间，并发现移多补少的方法，渗透离差代数和为0，修改其中一个数还能帮助学生感悟离散情况的比较。由此，儿童情境也有了统计意义，也能走向深度学习！
基于单元，着眼整体
现在各地都在研究“单元设计”，从“课时设计”到“单元设计”，前进了一大步。单元视角包括两个内容：同一个单元的内容和同一个知识体系的内容，在单元设计时，以知识点之间的共同点为起点整合架构知识体系，帮助学生从整体上建构知识网络。
在教学体积与容积时，如何辨析体积与容积的概念？在“课时主义”眼光下，一位老师精心设计了利用封住的纸箱和五个“一个套一个”的纸箱，帮助学生感悟容积变了、体积不变，对体积与容积进行辨析。“单元整体设计”眼光下，将体积和体积单位放在一起，利用三个层层递进的问题：长度单位用什么表示？面积单位用什么表示？体积单位呢？学生能马上类推出答案，而在学了体积计算后，用“求体积量外面，求容积量里面”一句话就能对体积和容积进行辨析。
当然，核心素养具有一致性和发展性，在基于单元的前提下，我们更要着眼于整个内容领域，甚至中小学内容的衔接。
专题研究，上挂下联
核心素养的培养是在学生参与其中的教学活动中逐步形成和发展的，课标对核心素养的主要表现及内涵做出了充分梳理，在小学阶段的11个主要表现中，每一个核心素养都要落实到相关单元每节课的教学。
教育部质量监控中心的命题能力指标中，问题解决能力占了36%。在问题解决案例“小松鼠装松果，42个装一罐，已经装好273罐，还剩978个没有装。一共能装多少罐？”时，要充分分析量和量之间的关系，可以用分析法和综合法两种方法解决，即从条件入手想和从问题入手想；当把题目中的数据改成简单的数据时，学生马上就能利用数感快速解决问题，便失去了对分析法和综合法的能力考察。
也就是说，在教学问题解决时，我们除了要启发学生通过分析量和量之间的关系以掌握数学方法外，更要关注题目中的数字，特别是简单数字对问题解决产生的干扰，以引导学生着重考虑量和量之间的关系，而非数字变难了就不会做了。
总而言之，教学改进要自觉摒弃假大空，立足于学生与教材，结合教学经验，坚持实事求是，用实践检验理论，发展学生核心素养。
让改进发生在每节课上，落实在学生身上！